Présentation¶
Le module de la courbe offre les fonctionnalités d'interpolation, de bootstraping (conversion en ZC) et divers traitements et conversions des taux.
Une courbe des taux est constituée de plusieurs points de la forme (maturité | taux) ordonnés par un ordre croissant des maturités
Certains points avec des périodes définies, sont appelés des Tenors
| Tenors | 3:M | 6:M | 1:A | 2:A | 5:A | 10:A | 15:A | 20:A | 25:A | 30:A |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Périodes | 3 Mois | 6 Mois | 1 Ans | 2 Ans | 5 Ans | 10 Ans | 15 Ans | 20 Ans | 25 Ans | 30 Ans |
Interpolation¶
Quand une maturité n'existe pas dans la courbe initiale, Le module procède à une interpolation linéaire des taux des points adjacents à droite et à gauche de la maturité recherchée.
Avant interpolation, le module s'assure que les taux des deux bornes sont de même nature et homogènes. Si les taux des deux bornes ne sont pas homogènes, le module procède à l'homogénéisation selon les cas suivants:
1. Si la maturité recherchée \(m_r\) est Monétaire¶
La borne supérieure est convertie en un taux Monétaire avant interpolation
2. Si la maturité recherchée \(m_r\) est Actuarielle¶
La borne inférieure est convertie en un taux Actuariel avant interpolation
Courbe Zéro Coupon: ZC¶
La courbe Zéro coupon est construite depuis la courbe marché en utilisant la méthode de bootstraping qui consiste à construire les taux ZC d'une manière itérative.
En partant du principe que toutes choses égales par ailleurs, la détermination d'un taux ZC revient à résoudre l'égalité du prix d'une obligation hypothétique, valorisée d'une part par les taux de la courbe marché \(t_{r_i}\) et d'autre part par les taux \(zc_i\).
A savoir
- Les taux monétaires sont actuarialisés en utilisant la formule de conversion en taux actuariel
- Le taux ZC d'une année est égal au taux sur la courbe d'une année. \(t_{r_1}\) = \(zc_1\)
Construction de la courbe ZC¶
Ci-dessous, la formule générale pour construie itérativement la courbe ZC
avec:
- \(zc_{n}\): Taux Zéro Coupon recherché
- \(zc_{i}\): Le taux Zéro Coupon de l'année \(i\). Déjà calculé à l'étape \(n-1\)
- \(t_r\): Le taux sur la courbe pour l'année \(i\)
- \(t_f\): Le taux facial de l'obligation hypothétique
- \(C\): Le coupon en valeur. \(C = K * t_f\)
- \(K\): Le capital ou le nominal de l'obligation
Exemple: Calcul du taux ZC 2 ans¶
Pour détailler la formule, nous allons figer certaines hypothèses pour illustrer les étapes de calcul.
Nous allons considérer une obligation hypothétique de 2 ans ayant un prix de 100 MAD,
l'idée consiste à avoir le même prix pour les deux méthodes de valorisation (ZC et Marché)
Hypothèses:
| caractéristiques | Symbole | 1A | 2 A |
|---|---|---|---|
| Prix | \(P\) | 100 MAD | |
| Capital (Nominal) | \(K\) | 100 MAD | |
| Taux facial | \(t_f\) | 3.49 % | 3.49 % |
| Coupon | \(C = K * t_f\) | 3.49 MAD | 3.49 MAD |
| Taux marché (courbe) | \(t_{r_i}\) | \(t_{r_2}\) = 3.490 % | |
| Taux ZC | \(zc_i\) | 3.283 % | ?? \(zc_2\) ?? |
- Pour des raisons de limpidité, l'obligation hypothétique a un coupon (taux facial) égal au taux sur la courbe
L'égalité des prix nous conduit à l'équation suivante:
En remplaçant les variables par les hypothèses, on obtient:
Table des symboles¶
| Symbole | Légende | Description |
|---|---|---|
| \(t_{mon}\) | Un taux monétaire | Généralement les taux monétaires ont une Base de 360 |
| \(t_{act}\) | Un taux actuariel | Les taux actuariels ont une base annuelle \(Base_A\) de 365 ou 366 |
| \(m_r\) | Maturité en jours | le nombre de jours pris en considération dans le calcul |
| \(Base_M\) | Base Monétaire | \(Base_M\) = 360 |
| \(Base_A\) | Base Annuelle | \(Base_A\) = 365 ou 366. Selon le contexte, la \(Base_A = 366\) si l'année est bissextile ou bien un 29 février figure dans la période prise en compte |
| \(t_{zc_{n}}\) | Taux Zéro Coupon de l'année \(a_n\) | Le taux ZC construit depuis l'année précédente |
| \(C_{n}\) | Coupon utilisé | Correspond au coupon correspondant à la maturité \(n\) |